A háromszögekre vonatkozó általános tételek

A háromszögek belső szögei

Definició 1: A háromszög belső szöge az oldalai által meghatározott szögek, melyek a háromszög belsejébe esnek.

A szögek jele: α, β, γ

Tétel 1: A háromszögek belső szögeinek összege 180°; azaz α+β+γ=180°.

A háromszögek külső szögei

Definíció 2:háromszög belső szögeinek összege

A Háromszög külső szöge a háromszög egyik oldal, és a mellette lévő oldal egyenese által bezárt szög.

A háromszög külső szögeinek jele: α’, β’, γ’ (az alfa szög melletti külső szög).

Tétel 2: A háromszög belső szöge, és a hozzá tartozó külső szög 180°-ra egészítik ki egymást.

Tétel 3: A háromszögek külső szöge a nem mellette lévő két másik belső szög összege.

Indoklás: A fenti ábrán a háromszög ‘A’ csúcsába húzzunk párhuzamost a harmadik oldallal (e egyenes). Evvel egyállású (γ’) és váltószögek (β’) jönnek létre, melyből az állítás belátható.

Megjegyzés: Ezzel lehet az első tételt is bizonyítani, hiszen az egyenes szög 180 fokos.

Tétel 4: A háromszögek külső szögeinek összege 360°

Indoklás:  α’+β’+γ’=(β+γ)+ (α+γ)+ (α+β)=2α+2β+2γ=2(α+β+γ)=2×180°=360°

Háromszögek területe

Tétel 5: A háromszög területe meghatározható, ha az oldalt és a hozzá tartozó magasság szorzatát elosztom kettővel.

Háromszögek oldalaira vonatkozó tételek

Tétel 6: A háromszögekben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van.

Tétel 7: Egy tetszőleges három szög bármely két oldalának összege nagyobb, mint a harmadik oldal.

Az a+b>c, a+c>b, b+c>a egyenlőtlenségek egyszerre teljesülnek.

Megjegyzés: Ezt nevezik háromszög egyenlőtlenségnek (így, egyes számban!). Ennek oka, hogy azt szokás megvizsgálni, hogy a legnagyobb oldal rövidebb-e, mint a másik két oldal összege (a másik kettő önmagában teljesül, mert a leghosszabb oldal hosszabb, mint a másik kettő).

Háromszögek egybevágósága és hasonlósága

Tétel 8: Háromszögek egybevágóságának alapesetei:

  1. Három oldal, és azok körüljárási iránya megegyezik;
  2. Egy oldal, és a rajta fekvő két szög megegyezik.
  3. Két oldal, és a közbezárt szögük megegyezik;
  4. Két oldal, és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik;

Tétel 9: Háromszögek hasonlóságának alapesetei:

  1. Három oldal aránya, és azok körüljárási iránya megegyezik;
  2. Három szög, és azok körüljárási iránya megegyezik;
  3. Két oldal aránya, és a közbezárt szögük megegyezik;
  4. Két oldal aránya, és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik;

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.