Derékszögű háromszögekre vonatkozó tételek

Thalesz tételTétel 1: Thálesz-tétel

Szakasz, mint átmérő fölé kőrt rajzolva a körvonal minden pontjából a szakasz két végpontja derékszögben látszik.

Indoklás: Minden derékszögű háromszög oldalfelezői az átfogó felezéspontjában metszik egymást

Tétel 2: Pitagorasz-tétel

A derékszögű háromszög befogói által meghatározott oldalhosszúságú négyzetek összterülete egyenlő az átfogó által meghatározott oldalhosszúságú négyzet oldalával

Indoklás: Talán az egyik legszemléletesebb bizonyítást az oldalsó ábra mutatja be. A nagy háromszög oldala a két befogó összege, benne négy egybevágó háromszög van, s ezeket másképp elhelyezve a nagy négyzetben megkapjuk a tételben a két kicsi (bordó és kék) és a nagy (szürke) négyszöget.

Tétel 2B: a Pitagorasz tétel megfordítása

Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege megegyezik a harmadik (legnagyobb) oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

Indoklás: A bizonyítás elve, hogy felveszünk egy olyan háromszöget, melyre teljesül a fenti állítás, de nem derékszögű (jelöljük ABC∆-nek). Keressük meg azt a derékszögű háromszöget, melynek befogói ugyan akkorák, mint az ABC∆ két rövidebb oldala (ez a háromszög legyen A’B’C’∆). Mivel a derékszögű háromszögre igaz a Pitagorasz tétel, meghatározható az A’B’C’∆ harmadik oldala. Ennek hossza pontosan ugyan akkora lesz, mint az ABC∆ leghosszabb oldala.

Egy háromszöget három adata (jelen esetben a három oldal hossza) egyértelműen meghatároz, ezért ABC∆ és A’B’C’∆ azonos. Mivel A’B’C’∆-et úgy vettük fel, hogy derékszögű, ezért az ABC∆ is az (az eredeti felvetésünk hamis volt). Ez az állítást bizonyítja.

magasságtételTétel 3: Magasság tétel

Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága két darabra osztja az átfogót. A két szakasz mértani közepe a magasságvonal háromszögbe eső szakával egyezik meg.

Indoklás: A tétel a háromszögek hasonlóságára vezethető vissza. Az oldalsó ábrán a BTC∆ és a CTA∆ hasonló, mert szögeik páronként megegyeznek.

A hasonló háromszögek megfelelő oldalinak arányát felírva: , amit átrendezve kapjuk, hogy , ami maga az eredeti tétel állítása.

Vegyük észre, hogy a felírt két oldal aránya nem más, mint a két befogó aránya. Ez a trigonometria jelölésével tgα, illetve ctgβ!!!

Tétel 4: Befogó tétel

Egy derékszögű háromszög befogója egyenlő az átfogó és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepével.

Megjegyzés: A fenti ábrán az ’a’ befogó merőleges vetülete x szakasz. A mindennapokban a merőleges vetítés az épületek alaprajzánál kerül elő leggyakrabban.

Indoklás: Ennek a tételnek a bizonyításához is az előző tétel megfontolásait vesszük figyelembe. Induljunk ki a nagy háromszög (ABC∆) és a jobb oldali kis háromszögből (BTC∆). Írjuk fel két megfelelő oldal arányát: , amit átrendezve kapjuk a tétel állítását:
együk észre, hogy a felírt két oldal aránya nem más, mint az egyik befogó és az átfogó aránya. Ez a trigonometria jelölésével sinα, illetve cosβ!!!

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.