Háromszögek egyéb nevezetes vonalai (emelt szintű érettségihez)

euler_pontokTétel 1: Euler vonal

Egy háromszög magasságpontja, súlypontja és köré írható körének középpontja egy egyenesre esik. A súlypont harmadolja a magasságpont és a köré írható kőr középpontja által meghatározott szakasz (az utóbbihoz közelebbi harmadolópont)

Definíció 1: A három pont által meghatározott egyenest Euler-egyenesnek nevezzük.

Megjegyzés: Az Euler egyenes a szimmetrikus háromszögeknél ráesik a szimmetriatengelyre, és a szabályos háromszögnek nincs Euler-egyenese (mert minden nevezetes belső pont egy pontba esik).

kilencpontköreTétel 2: Feuerbach-kőr, kilenc pont köre

Bármely háromszög oldalainak felezőpontjai, magasságainak talppontjai és a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai egy körön vannak. Ennek a körnek a középpontja illeszkedik az Euler-egyenesre, felezi a magasságpontot és a háromszög köré írt kör középpontját összekötő szakaszt, és sugara a háromszög köré írható körének fele.

Definíció 2: Ezt a kört nevezik Feuerbach-kőrnek, vagy Euler-kőrnek, vagy kilenc pont körének is.

Megjegyzés: Az Feuerbach-kőr középpontja a szimmetrikus háromszögeknél ráesik a szimmetria tengelyre. A szabályos háromszögben az Euler-kör középpontja egybe esik a magasságponttal, a beírható és köré írható kör középpontjával, valamint a súlyponttal.

Külső szögfelezők

külső érintőkör
Definíció 3: A háromszögek külső szögfelezői a háromszögek külső szögeit felező egyenesek.

Jele: fα’, fβ’, fγ’.

Megjegyzés: A háromszögek oldalegyenesei hat térrészre osztják a síkot. Ezekből három a háromszögek belső szögeihez tartozó csúcsszög (melyet egy-egy belső szögfelező vág ketté), míg a másik három térrészben két külső szögfelező és egy belső szögfelező egyenese található meg (például az ’a’ oldal külső oldalánál fβ’, fγ’ külső szögfelező és fα belső szögfelező található).

Tétel 3: Külső szögfelezők tétele

Ugyanazon oldalhoz (!!!) tartozó két külső szögfelező, és az oldallal szemben lévő belső szög szögfelezője egy pontban metszik egymást (lásd a fenti ábrát!).

Indoklás: A bizonyítás kiindulópontja szinte teljesen azonos a belső szögfelezők metszéspontjának bizonyításához. Egy szög szögfelezőjének pontjai egyenlő távol vannak a szög két szárától. fβ’ egyenlő távol van ’a’ oldaltól és ’c’ oldal oldalegyenesétől; fγ’ pedig az ’a’ oldaltól és a ’b’ oldal oldalegyenesétől. A metszéspontjukban ez a két feltétel egyszerre teljesül. Tehát a metszéspont egyenlő távol van a ’c’ és a ’b’ oldal egyenesétől, tehát rajta van fα-n is.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.