Matematikai analízis

A matematika analízis alapvetően különböző (szám)függvények vizsgálata és átalakítása (transzformációja). Ezen feladatok megoldásához szükséges az algebrai átalakítások és az elemi függvények alapos ismerete.

Matematika analízis lépésről lépésre

Az analízis megértésének és megtanulásának van egy logikus sorrendje, aminek minden egyes eleme szükséges. Sok éves tapasztalatom, hogy az egyes elemek kihagyása komoly kihívásokat okoz az anyag későbbi részeinek elsajátításakor.

• Az analízis során a sorozatok vizsgálata az első lépés. Meg kell ismerni az analízis alapfogalmait:
  • hozzárendelési szabály,
  • korlátosság,
  • monotonítás és
  • határérték).
• Majd a következő lépésben a különböző fogalmak közötti kapcsolatokat kell megismerni, hogy mi miből következik, illetve minek mi a feltétele. A matematikai analízis (vizsgálat) ezután jöhet csak:
  • a sorozatok monotonitása és korlátossága,
  • a végtelenben vett határérték meghatározása, illetve
  • adott környezetthez tartozó küszöbszám meghatározása.
• A sorozatok után következhet a számtartományokon értelmezett függvények analízise. A függvények kapcsán is bejön még pár új fogalom
  • folytonosság,
  • végesben vett határérték,
  • szakadási hely és annak három típusa,
  • differencia hányados és differenciálhányados /derivált/.
    Itt is meg kell ismerni a különböző fogalmak közötti kapcsolatokat, s itt is van az analízis fogalmaihoz tartozó példamegoldás. (A deriváláshoz külön feladatsort is csináltam.)

A függvényvizsgálat elemei

Van egy “rövid” lista, amit vizsgálni szoktak egy függvény kapcsán, s ezek közül választanak néhányat az analízis vizsgánál. Pár függvény teljes vizsgálatát elvégezve ezek meghatározása könnyedén megtanulható mindenki számára.

1. értelmezési tartomány D_f
2. Értékkészlet R_f
3. zérushely
4. monotonitás
5. szélsőérték
6. inflexiós pont
7. konvex és konkáv tartományok
8. paritás
9. periodicitás
10. szakadási helyek és tipusának meghatározása
11. végesben és végtelenben vett határértékek

Néha a többváltozós függvények vizsgálata is előkerül, melynek a trükkje az, hogy a feladatokat vissza kell vezetni az egyváltozós függvények vizsgálatára. Pár feladat alatt megyakorlolható az a része a feladatoknak, ami egyébként korábban nem került elő az anyyagban, s a vizsgálat menete onnantól már nem fog gondot okozni.

Integrálás és alkalmazásai

A matematikai analízis harmadik területe az integrálás. Ez nem más, mint a deriválás ellentett művelete. Ha deriválási szabályokat nem sikerült készség szintjén megtanulni, az integrálást elsajátítani szinte lehetetlen. Ezért én mindig nagy hangsúlyt helyezek arra, hogy a deriválási szabályok ismerete biztos legyen.

Az integrálásnak két formája van, a határozatlan és a határozott. Fontos ezeket megkülönböztetni egymástól, mert két hasonló, s mégis nagyon különböző dologról van szó.

• Az első típust primitív függvény keresésének, a másodikat pedig görbe alatti terület meghatározásának is hívják.
• A határozott integrált használni szokták görbék által közrefogott területek meghatározására, valamint hengeres testek felszínének és térfogatának meghatározására is.

A többváltozós függvények integrálása nem minden szakon tananyag. Amennyiben igen, a matematika óra általában az integrálási szabályok átismétlésével kezdődik.

Amikor az integrálási szabályok ismerete stabil, csak akkor érdemes a többváltozós függvények integrálását megtanulni. Különben az egész egy szenvedés lesz a diáknak és a tanárnak is egyaránt. Az alapok megértése után az összefüggéseket és a módszereket megismerve a megfelelő integráltakat könnyedén ki lehet számolni.

Életszerű (szöveges) példákat is gyakran feladnak az analízis vizsgákon, melyhez a deriválás vagy az integrálás alkalmazása szükséges, de ezek ismerete önmagában nem elegendő, gyakran a feladat része az integrálandó függvény felítása is.