A matematika oktatás témakörei

Rendszerezett formában összeszedtem, mi mindent kell elsajátítani matematikából a középiskolai tanulmányok során. Megadtam azt is, mikor kerül elő az adott tananyag az évek során. Igyekeztem egyfajta sorrendet is megadni, ami a gyorsabb haladás is lehetővé teszi. Ez a fajta sorrend nekem annyira bevált, hogy a munkám sorám már-már össztönösen ezt a sorrendet követem.

Hogy a felsorolás teljes legyen, illetve azért, hogy érzékelhető legyen, mekkora eltérés van a középszintű és emelt szintű anyag között, kék színnel jelőltem azon témaköröket, amelyek csak az emelt szint anyagában szerepelnek. A lényeges eltérés viszont abban van, hogy a feladatok megoldásnak a logikája (megközelítése) sok esetben eltérő.

• Ugorjon előre a tizedikes tananyagra —>
• Ugorjon előre a tizenegyedikes tananyagra —>
• Ugorjon előre a tizenkettedikes tananyagra —>

Matematikai alapok (ált. isk., 9. évfolyam)

Szerintem ezzel kell kezdeni minden középiskolai oktatást, mert ez olyan mértékben szétesik a diákok fejében, hogy a dolgozatok hibáinak 20-25 százaléka ennek köszönhető.

1. Számok összeadása, kivonása, szorzása. A fejszámolás alapjai (egyszerű összeadás és kivonás, szorzótábla), zárójelek használata.
2. Számok osztása, törtek használata. Oszthatósági szabályok, a legkisebb közös osztó és a legkisebb közös többszörös használata.
3. Műveletek törtekkel: Törtek összeadása, kivonása, bővítés és egyszerűsítés. Törtek szorzása és osztása számmal. Törtek szorzása és osztása törttel. Az emeletes tört átalakítása, egyszerűbb alakja.
4. Számok hatványai, a hatványozás azonosságai. Számok normál alakja, a fizikai mennyiségek előtagjai (prefixumok), mértékegységek átváltása.
5. Az algebrai kifejezések bevezetése. Egynemű kifejezések kiválasztása, algebrai kifejezések összevonása, szorzása.
6. A matematikai egyenlet: mérlegelv, egy oldalra rendezés, az egyenlet osztása számmal. Az egyenlet eredményének ellenőrzése (visszahelyettesítés).

Halmazok és matematikai logika (9. és 10. évfolyam)

1. Halmazok megadása, jelölése, számossága, kiegészítő (komplementer) halmaz, egy halmaz részhalmazainak száma.
2. Műveletek halmazokkal: metszet, unió, különbség, szimmetrikus különbség, két halmaz Descartes-féle direkt szorzata.
3. Számhalmazok bevezetésük, tulajdonságaik, kapcsolatunk.
4. Logikai ítéletek formalizálása. Boole algebrai azonosságok és bizonyításuk. A halmazok és a matematikai logika kapcsolata. A döntési fák használata.

Algebrai azonosságok és használatuk (9. évfolyam)

1. Algebrai kifejezések szorzása, zárójeles kifejezések felbontása, többszörös zárójelek használata. Összetett algebrai kifejezéseket tartalmazó zárójelek felbontása. Algebrai kifejezések hatványozása (szorzat és hatvány hatványozása).
2. Algebrai azonosságok (összegek és különbségek négyzete, köbe, két szám összegének és különbségének szorzata).
3. Szorzattá alakítás kiemeléssel és csoportosítással. Szorzattá alakítás azonosság felhasználásával. Szorzattá alakítás több lépésben. Teljes négyzetté alakítás.
4. Algebrai törtek értelmezési tartománya. Algebrai törtek egyszerűsítése szorzattá alakítással. Algebrai törtek összeadása, kivonása zárójelek használatával. Algebrai törtek szorzása és osztása. /Emeletes algebrai törtek./

Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek és egyenletrendszerek (9. évfolyam)

1. Elsőfokú egyenletek, törtes egyenletek, a nevezőben algebrai kifejezést tartalmazó egyenletek.
2. Egyenlőtlenségek. Egyenlőtlenség szorzása és osztása negatív számmal. Törtes egyenlőtlenségek.
3. Abszolút érték bevezetése, az abszolút értéket tartalmazó egyenletek megoldása. Abszolútértéket tartalmazó egyenlőtlenségek.
4. Két ismeretlenes egyenlet-rendszerek megoldása kifejezéssel és behelyettesítéssel. Az egyenlő együtthatók módszere.
5. Több ismeretlenes egyenletek és egyenletrendszerek megoldása: Gauss módszer, a determinánsok módszere és egyszerű lineáris programozási feladatok

Elsőfokú egyenletekre vezető szöveges feladatok (9. évfolyam)

Gyakran a szövegértés alapjainak elsajátítás is szükséges ezen anyagrészhez!!!

1. Egy ismeretlenes egyenletre visszavezethető feladatok. A százalékszámítás rendszerezése.
2. Együttes munkára, keverési feladatokra és mozgásra vonatkozó feladatok.
3. Számelméleti feladatok. Számelméleti jelölések, számrendszerek és átszámítások.
4. Több ismeretlenes egyenlet-rendszerre vezető feladatok.
5. Diofantoszi problémák (ahol az egyenletek száma kevesebb, mint az ismeretlen).

Egyszerű matematikai függvények (9. évfolyam)

1. A függvények jellemzésének elemei
2. A konstans függvény és a lineáris (elsőfokú) függvény ábrázolása és jellemzése.
3. Az abszolút érték függvény ábrázolása, transzformációja és jellemzése.
4. Az reciprok függvény ábrázolása, transzformációja és jellemzése.
5. A másodfokú függvény ábrázolása, transzformációja és jellemzése.
6. Négyzetgyök függvény ábrázolása, transzformációja és jellemzése.
7. Az egészrész, a törtrész és az előjel függvény tulajdonságai

A síkgeometria alapjai (ált. isk., 9-10 évfolyam)

1. A síkgeometria alapfogalmai: egyenes, félegyenes, szakasz, szög és szögtartomány
2. Két egyenes helyzete a síkban: két egyenes metszéspontja, párhuzamossága, egyenlősége
3. Egyenesek és a sík kölcsönhatása, egyállású, fordított állású és csúcsszögek. szögek, kiegészítő szögek
4. Egybevágósági transzformációk és tulajdonságaik (tengelyes és középpontos tükrözés, pont körüli forgatás, eltolás).
5. Középpontos hasonlóság és tulajdonságai. A hasonlósággal bizonyítható tételek (párhuzamos szellők és szellő szakaszok tétele). Merőleges, kúpos és hengeres vetítés (a térképek használatának alapjai).
6. Háromszögek tulajdonságai, típusai (tompaszögű, derékszögű és hegyes szögű háromszögek).
7. Háromszögek nevezetes vonalai, és a rá vonatkozó tételek (szögfelezők, szakaszfelezők, magasságvonalak, súlyvonalak). A nevezetes háromszögekben a nevezetes pontok elhelyezkedése. A háromszögek egybevágóságának és hasonlóságának alapesetei.
8. Derékszögű háromszögekre vonatkozó tételek (Pitagorasz-tétel, Tálesz-tétel, magasság tétel, befogó tétel, Euler és Feuerbach tétel).
9. Négyszögek rendszerezése, a különböző négyszögek rész-egész viszonyai (=a négyszögek halmazai: deltoid, trapéz, paralelogramma, rombusz, téglalap és négyzet). A négyszögek szimmetriája, kerülete, területe.
10. A kőr részei és azok tulajdonságai, a körre vonatkozó tételek (kerületi és középponti szögek tétele, érintő szakaszok tétele). A látószög körív és a két független körívhez húzott külső és belső érintő megszerkesztése.
11. A vektor fogalma, vektorok összege és különbsége, paralelogramma módszer használata két vektor esetén.
12. Egyéb nevezetes görbék (szabályos sokszögek, parabola, hiperbola, ellipszis és kosárgörbe) definíciója és tulajdonságai

A négyzetgyök, a másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek (10. évfolyam)

1. Négyzetgyök fogalma, értelmezési tartománya (, a négyzetgyök függvény).
2. A négyzetszámok, a négyzetszámok gyöke, számok szorzatának gyöke, algebrai kifejezések gyöke. Gyökjel alá bevitel és gyökjel alóli kiemelés.
3. Négyzetgyökkel való szorzás, osztás, feladatok algebrai azonosságokkal, törtek nevezőjének gyöktelenítése.
4. Másodfokú kifejezésre vezető egyenletek, a hiányos másodfokú egyenlet megoldása. Másodfokú egyenlet megoldása kiemeléssel, szorzattá alakítással, teljes négyzetté alakítással.
5. A másodfokú megoldó képlet, egyenletek megoldása másodfokú megoldó képlettel.
6. Négyzetgyököt tartalmazó egyenletek megoldása, a hamis gyök fogalma.
7. A két ismeretlenes másodfokú egyenletrendszerek megoldásának speciális esetei.
8. Másodfokú egyenletre vezető szöveges példák.

Trigonometria 1. (10. évfolyam)

1. A trigonometrikus függvények a derékszögű háromszögekben. A nevezetes szögek szögfüggvényei.
2. A háromszög különböző részeinek kiszámolása A trigonometrikus függvények használata a geometriai (szöveges) feladatokban.
3. A trigonometrikus függvények kiterjesztése, a forgásszögek szögfüggvényei. A trigonometrikus függvények ábrázolása, transzformációja, és tulajdonságaik.
4. A trigonometria alapvető összefüggései s egyenletekben való alkalmazásuk.

Matematikai statisztika (10. évfolyam)

1. Adatok egyszerű jellemzése (elemszám, minimum és maximum érték, terjedelem, középső elem (medián), leggyakoribb elem (módusz)
2. Adatok tulajdonságait jellemző számok (átlag, szórás, kvartilis, decilis).
3. Adatok ábrázolása és értelmezése (oszlop és kőrdiagram)

Az n-edik gyök és törtkitevőjű hatványok (10-11. évfolyam)

1. N-edik gyök fogalma, számok n-edik gyöke
2. Gyök alá bevitel és gyökjel alóli kiemelés
3. Többszörös gyökjel egyszerűsítése
4. Negatív és törtkitevőjű hatvány értelmezése
5. Törtkitevőjű hatványok szorzása és osztása

Exponenciális és logaritmusos kifejezések (11. évfolyam)

1. Exponenciális és logaritmusos függvény ábrázolása, transzformációja, jellemzése. Az exponenciális egyenletek megoldása (4 különböző típus).
2. Logaritmusos kifejezések átalakításai (kitevő előre hozatala, azonos alapú logaritmusok összege és különbsége, új alapra áttérés).
3. Logaritmusos egyenletek megoldása (3 különböző típus).
4. Exponenciális és logaritmusos jelenségekhez kapcsolódó szöveges feladatok.
5. Exponenciális és logaritmusos egyenletrendszerek.

Trigonometria 2 (11. évfolyam)

1. Szinusz és koszinusz tétel általános háromszögekre, ehhez kapcsolódó számítási feladatok.
2. Két szög összegének és különbségének szögfüggvénye, kétszeres szögek szögfüggvénye (addíciós tételek)
3. Feles szögek szögfüggvénye

Vektorok a koordináta rendszerben (11. évfolyam)

1. Vektorok skalár szorzata Vektor hosszának, illetve két vektor hajlásszögének meghatározása.
2. Egy szakasz felező-, harmadoló- és adott arányú osztópontja.
3. Vektorok merőleges forgatása, számmal való szorzása, osztása

Koordinátageometria (11. évfolyam)

1. Ezen fejezet elsajátításához a 3., 6. és 7. témakőr átismétlése erősen ajánlott.
2. Az egyenes egyenletei (irányvektorral, normálvektorral felírt formája, iránytangenssel és kép pont segítségével megadott egyenes egyenlet), és a hozzá kapcsolódó feladatok.
3. A kőr egyenlete és a hozzá kapcsolódó feladatok.
4. A parabola egyenlete és a hozzá kapcsolódó feladatok.
5. Az ellipszis egyenlete és a hozzá kapcsolódó feladatok.
6. Görbék metszéspontjának meghatározása, adott tulajdonságú görbe egyenletének felírása.

Sorozatok (12. évfolyam)

1. Sorozatok definíciója, tulajdonságai, fajtái, nevezetes sorozatok.
2. Számtani sorozat definíciója, általános tagjának és első n tagjának összegét magadó képlet, ezek felhasználását igénylő feladatok.
3. Mértani sorozat definíciója, általános tagjának és első n tagjának összegét magadó képlet, ezek felhasználását igénylő feladatok.
4. Mértani és számtani sorozatot is tartalmazó feladatok.
5. Sorozatok vizsgálata (analízise):
   1. Sorozatok konvergenciája, korlátossága, határértéke, s ezek meghatározása. Az e szám bevezetése.
   2. Néhány speciális sorozat első n tagjának összegére vonatkozó rekurzív (teljes indukcióval történő) bizonyítása.
   3. A rendőrelv használata sorozatok konvergenciájának meghatározásához.
   4. Matematikai sorok definíciója, korlátossága, határértéke.

Térgeometria (12. évfolyam)

1. Fontosabb térbeli alakzatok definíciója, felszíne és térfogata (kocka, téglalap, gömb, gúla, kúp).
2. Térbeli alakzatok ismeretlen szakaszainak kiszámolása, a csonka kúp és a csonka gúlához kapcsolódó feladat.
3. A mindennapokban előforduló egyéb térbeli formák (parabolid felület, elipiszoid, paralelepipedon)
4. A szabályos testek definíciói. Az oktaéder és a hexaéder kapcsolata

Kombinatorika és valószínűség számítás (12. évfolyam)

1. Permutáció, variáció és kombináció fogalma és a hozzájuk kapcsolódó feladatok.
2. Egyedi esemény valószínűségének meghatározása.
3. Diszkrét eloszlástípusok (Binomiális, hipergeometrikus és exponenciális eloszlás)

Gráfok

1. Alapfogalmak: gráf, él, csúcs. hurok, út, körüljárás
2. Feladatok gráfokkal: legrövidebb út probléma, körút meghatározása, kritikus úthossz és tartalék idők.
3. Fa szerkezet, hálózatok optimalizálása, minimális költségű fa meghatározása.

Számfogalom kiterjesztése, a komplex számok

1. A valós számok halmazának szűkössége, a komplex számsík bevezetése, a képzetes rész definíciója.
2. A komplex számok algebrai alakja. Összeadás, kivonás, szorzás, osztás és hatványozás algebrai alakkal, a binomiális tétel.
3. A komplex számok trigonometrikus alakja, átszámolás az algebrai és a trigonometrikus alak között. A trigonometrikus alakkal való szorzás, osztás, hatványozás és gyökvonás.
4. Függvények használata komplex számokkal

Függvényanalízis

1. A sorozatok tulajdonságainak vizsgálata nélkül értelmetlen ennek a résznek nekiállni!
2. A valós számok folytonossága, függvények folytonossága, korlátossága, szakadása (helyettesíthető, ugrás és másodfajú szakadás).
3. Függvények végtelenben és végesben vett határértéke, nevezetes függvény határértékek
4. Függvények differencia és differenciál hányadosa függvény deriváltja, annak tulajdonságai. Deriválási szabályok és alapvető deriváltak, függvények deriválása, második és n-edik derivált, függvények közelítő (Tailor) sora.
5. Függvények vizsgálata az analízis elemeivel.
6. Függvények integrálása. Alapintegrálok és integrálási szabályok. Parciális törtekre bontás és parciális integrálás.
7. A határozott integrál fogalma és használata. Newton-Liebniz formula, forgástestek felszíne és térfogata.