Rendszerezett formában összeszedtem, mi mindent kell elsajátítani matematikából a középiskolai tanulmányok során. Megadtam azt is, mikor kerül elő az adott tananyag az évek során. Igyekeztem egyfajta sorrendet is megadni, ami a gyorsabb haladás is lehetővé teszi. Ez a fajta sorrend nekem annyira bevált, hogy a munkám sorám már-már össztönösen ezt a sorrendet követem.
Hogy a felsorolás teljes legyen, illetve azért, hogy érzékelhető legyen, mekkora eltérés van a középszintű és emelt szintű anyag között, kék színnel jelőltem azon témaköröket, amelyek csak az emelt szint anyagában szerepelnek. A lényeges eltérés viszont abban van, hogy a feladatok megoldásnak a logikája (megközelítése) sok esetben eltérő.
Matematikai alapok (ált. isk., 9. évfolyam)
Szerintem ezzel kell kezdeni minden középiskolai oktatást, mert ez olyan mértékben szétesik a diákok fejében, hogy a dolgozatok hibáinak 20-25 százaléka ennek köszönhető.
- Számok összeadása, kivonása, szorzása. A fejszámolás alapjai (egyszerű összeadás és kivonás, szorzótábla), zárójelek használata.
- Számok osztása, törtek használata. Oszthatósági szabályok, a legkisebb közös osztó és a legkisebb közös többszörös használata.
- Műveletek törtekkel: Törtek összeadása, kivonása, bővítés és egyszerűsítés. Törtek szorzása és osztása számmal. Törtek szorzása és osztása törttel. Az emeletes tört átalakítása, egyszerűbb alakja.
- Számok hatványai, a hatványozás azonosságai. Számok normál alakja, a fizikai mennyiségek előtagjai (prefixumok), mértékegységek átváltása.
- Az algebrai kifejezések bevezetése. Egynemű kifejezések kiválasztása, algebrai kifejezések összevonása, szorzása.
- A matematikai egyenlet: mérlegelv, egy oldalra rendezés, az egyenlet osztása számmal. Az egyenlet eredményének ellenőrzése (visszahelyettesítés).
Halmazok és matematikai logika (9. és 10. évfolyam)
- Halmazok megadása, jelölése, számossága, kiegészítő (komplementer) halmaz, egy halmaz részhalmazainak száma.
- Műveletek halmazokkal: metszet, unió, különbség, szimmetrikus különbség, két halmaz Descartes-féle direkt szorzata.
- Számhalmazok bevezetésük, tulajdonságaik, kapcsolatunk.
- Logikai ítéletek formalizálása. Boole algebrai azonosságok és bizonyításuk. A halmazok és a matematikai logika kapcsolata. A döntési fák használata.
Algebrai azonosságok és használatuk (9. évfolyam)
- Algebrai kifejezések szorzása, zárójeles kifejezések felbontása, többszörös zárójelek használata. Összetett algebrai kifejezéseket tartalmazó zárójelek felbontása. Algebrai kifejezések hatványozása (szorzat és hatvány hatványozása).
- Algebrai azonosságok (összegek és különbségek négyzete, köbe, két szám összegének és különbségének szorzata).
- Szorzattá alakítás kiemeléssel és csoportosítással. Szorzattá alakítás azonosság felhasználásával. Szorzattá alakítás több lépésben. Teljes négyzetté alakítás.
- Algebrai törtek értelmezési tartománya. Algebrai törtek egyszerűsítése szorzattá alakítással. Algebrai törtek összeadása, kivonása zárójelek használatával. Algebrai törtek szorzása és osztása. /Emeletes algebrai törtek./
Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek és egyenletrendszerek (9. évfolyam)
- Elsőfokú egyenletek, törtes egyenletek, a nevezőben algebrai kifejezést tartalmazó egyenletek.
- Egyenlőtlenségek. Egyenlőtlenség szorzása és osztása negatív számmal. Törtes egyenlőtlenségek.
- Abszolút érték bevezetése, az abszolút értéket tartalmazó egyenletek megoldása. Abszolútértéket tartalmazó egyenlőtlenségek.
- Két ismeretlenes egyenlet-rendszerek megoldása kifejezéssel és behelyettesítéssel. Az egyenlő együtthatók módszere.
- Több ismeretlenes egyenletek és egyenletrendszerek megoldása: Gauss módszer, a determinánsok módszere és egyszerű lineáris programozási feladatok
Elsőfokú egyenletekre vezető szöveges feladatok (9. évfolyam)
Gyakran a szövegértés alapjainak elsajátítás is szükséges ezen anyagrészhez!!!
- Egy ismeretlenes egyenletre visszavezethető feladatok. A százalékszámítás rendszerezése.
- Együttes munkára, keverési feladatokra és mozgásra vonatkozó feladatok.
- Számelméleti feladatok. Számelméleti jelölések, számrendszerek és átszámítások.
- Több ismeretlenes egyenlet-rendszerre vezető feladatok.
- Diofantoszi problémák (ahol az egyenletek száma kevesebb, mint az ismeretlen).
Egyszerű matematikai függvények (9. évfolyam)
- A függvények jellemzésének elemei
- A konstans függvény és a lineáris (elsőfokú) függvény ábrázolása és jellemzése.
- Az abszolút érték függvény ábrázolása, transzformációja és jellemzése.
- Az reciprok függvény ábrázolása, transzformációja és jellemzése.
- A másodfokú függvény ábrázolása, transzformációja és jellemzése.
- Négyzetgyök függvény ábrázolása, transzformációja és jellemzése.
- Az egészrész, a törtrész és az előjel függvény tulajdonságai
Minden kérdésre szívesen válaszolok a 20/249-7326-os számon! |
A síkgeometria alapjai (ált. isk., 9-10 évfolyam)
- A síkgeometria alapfogalmai: egyenes, félegyenes, szakasz, szög és szögtartomány
- Két egyenes helyzete a síkban: két egyenes metszéspontja, párhuzamossága, egyenlősége
- Egyenesek és a sík kölcsönhatása, egyállású, fordított állású és csúcsszögek. szögek, kiegészítő szögek
- Egybevágósági transzformációk és tulajdonságaik (tengelyes és középpontos tükrözés, pont körüli forgatás, eltolás).
- Középpontos hasonlóság és tulajdonságai. A hasonlósággal bizonyítható tételek (párhuzamos szellők és szellő szakaszok tétele). Merőleges, kúpos és hengeres vetítés (a térképek használatának alapjai).
- Háromszögek tulajdonságai, típusai (tompaszögű, derékszögű és hegyes szögű háromszögek).
- Háromszögek nevezetes vonalai, és a rá vonatkozó tételek (szögfelezők, szakaszfelezők, magasságvonalak, súlyvonalak). A nevezetes háromszögekben a nevezetes pontok elhelyezkedése. A háromszögek egybevágóságának és hasonlóságának alapesetei.
- Derékszögű háromszögekre vonatkozó tételek (Pitagorasz-tétel, Tálesz-tétel, magasság tétel, befogó tétel, Euler és Feuerbach tétel).
- Négyszögek rendszerezése, a különböző négyszögek rész-egész viszonyai (=a négyszögek halmazai: deltoid, trapéz, paralelogramma, rombusz, téglalap és négyzet). A négyszögek szimmetriája, kerülete, területe.
- A kőr részei és azok tulajdonságai, a körre vonatkozó tételek (kerületi és középponti szögek tétele, érintő szakaszok tétele). A látószög körív és a két független körívhez húzott külső és belső érintő megszerkesztése.
- A vektor fogalma, vektorok összege és különbsége, paralelogramma módszer használata két vektor esetén.
- Egyéb nevezetes görbék (szabályos sokszögek, parabola, hiperbola, ellipszis és kosárgörbe) definíciója és tulajdonságai
A négyzetgyök, a másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek (10. évfolyam)
- Négyzetgyök fogalma, értelmezési tartománya (, a négyzetgyök függvény).
- A négyzetszámok, a négyzetszámok gyöke, számok szorzatának gyöke, algebrai kifejezések gyöke. Gyökjel alá bevitel és gyökjel alóli kiemelés.
- Négyzetgyökkel való szorzás, osztás, feladatok algebrai azonosságokkal, törtek nevezőjének gyöktelenítése.
- Másodfokú kifejezésre vezető egyenletek, a hiányos másodfokú egyenlet megoldása. Másodfokú egyenlet megoldása kiemeléssel, szorzattá alakítással, teljes négyzetté alakítással.
- A másodfokú megoldó képlet, egyenletek megoldása másodfokú megoldó képlettel.
- Négyzetgyököt tartalmazó egyenletek megoldása, a hamis gyök fogalma.
- A két ismeretlenes másodfokú egyenletrendszerek megoldásának speciális esetei.
- Másodfokú egyenletre vezető szöveges példák.
Trigonometria 1. (10. évfolyam)
- A trigonometrikus függvények a derékszögű háromszögekben. A nevezetes szögek szögfüggvényei.
- A háromszög különböző részeinek kiszámolása A trigonometrikus függvények használata a geometriai (szöveges) feladatokban.
- A trigonometrikus függvények kiterjesztése, a forgásszögek szögfüggvényei. A trigonometrikus függvények ábrázolása, transzformációja, és tulajdonságaik.
- A trigonometria alapvető összefüggései s egyenletekben való alkalmazásuk.
Matematikai statisztika (10. évfolyam)
- Adatok egyszerű jellemzése (elemszám, minimum és maximum érték, terjedelem, középső elem (medián), leggyakoribb elem (módusz)
- Adatok tulajdonságait jellemző számok (átlag, szórás, kvartilis, decilis).
- Adatok ábrázolása és értelmezése (oszlop és kőrdiagram)
Minden kérdésre szívesen válaszolok a 20/249-7326-os számon! |
Az n-edik gyök és törtkitevőjű hatványok (10-11. évfolyam)
- N-edik gyök fogalma, számok n-edik gyöke
- Gyök alá bevitel és gyökjel alóli kiemelés
- Többszörös gyökjel egyszerűsítése
- Negatív és törtkitevőjű hatvány értelmezése
- Törtkitevőjű hatványok szorzása és osztása
Exponenciális és logaritmusos kifejezések (11. évfolyam)
- Exponenciális és logaritmusos függvény ábrázolása, transzformációja, jellemzése. Az exponenciális egyenletek megoldása (4 különböző típus).
- Logaritmusos kifejezések átalakításai (kitevő előre hozatala, azonos alapú logaritmusok összege és különbsége, új alapra áttérés).
- Logaritmusos egyenletek megoldása (3 különböző típus).
- Exponenciális és logaritmusos jelenségekhez kapcsolódó szöveges feladatok.
- Exponenciális és logaritmusos egyenletrendszerek.
Trigonometria 2 (11. évfolyam)
- Szinusz és koszinusz tétel általános háromszögekre, ehhez kapcsolódó számítási feladatok.
- Két szög összegének és különbségének szögfüggvénye, kétszeres szögek szögfüggvénye (addíciós tételek)
- Feles szögek szögfüggvénye
Vektorok a koordináta rendszerben (11. évfolyam)
- Vektorok skalár szorzata Vektor hosszának, illetve két vektor hajlásszögének meghatározása.
- Egy szakasz felező-, harmadoló- és adott arányú osztópontja.
- Vektorok merőleges forgatása, számmal való szorzása, osztása
Koordinátageometria (11. évfolyam)
- Ezen fejezet elsajátításához a 3., 6. és 7. témakőr átismétlése erősen ajánlott.
- Az egyenes egyenletei (irányvektorral, normálvektorral felírt formája, iránytangenssel és kép pont segítségével megadott egyenes egyenlet), és a hozzá kapcsolódó feladatok.
- A kőr egyenlete és a hozzá kapcsolódó feladatok.
- A parabola egyenlete és a hozzá kapcsolódó feladatok.
- Az ellipszis egyenlete és a hozzá kapcsolódó feladatok.
- Görbék metszéspontjának meghatározása, adott tulajdonságú görbe egyenletének felírása.
Minden kérdésre szívesen válaszolok a 20/249-7326-os számon! |
Sorozatok (12. évfolyam)
- Sorozatok definíciója, tulajdonságai, fajtái, nevezetes sorozatok.
- Számtani sorozat definíciója, általános tagjának és első n tagjának összegét magadó képlet, ezek felhasználását igénylő feladatok.
- Mértani sorozat definíciója, általános tagjának és első n tagjának összegét magadó képlet, ezek felhasználását igénylő feladatok.
- Mértani és számtani sorozatot is tartalmazó feladatok.
- Sorozatok vizsgálata (analízise):
- Sorozatok konvergenciája, korlátossága, határértéke, s ezek meghatározása. Az e szám bevezetése.
- Néhány speciális sorozat első n tagjának összegére vonatkozó rekurzív (teljes indukcióval történő) bizonyítása.
- A rendőrelv használata sorozatok konvergenciájának meghatározásához.
- Matematikai sorok definíciója, korlátossága, határértéke.
Térgeometria (12. évfolyam)
- Fontosabb térbeli alakzatok definíciója, felszíne és térfogata (kocka, téglalap, gömb, gúla, kúp).
- Térbeli alakzatok ismeretlen szakaszainak kiszámolása, a csonka kúp és a csonka gúlához kapcsolódó feladat.
- A mindennapokban előforduló egyéb térbeli formák (parabolid felület, elipiszoid, paralelepipedon)
- A szabályos testek definíciói. Az oktaéder és a hexaéder kapcsolata
Kombinatorika és valószínűség számítás (12. évfolyam)
- Permutáció, variáció és kombináció fogalma és a hozzájuk kapcsolódó feladatok.
- Egyedi esemény valószínűségének meghatározása.
- Diszkrét eloszlástípusok (Binomiális, hipergeometrikus és exponenciális eloszlás)
Gráfok
- Alapfogalmak: gráf, él, csúcs. hurok, út, körüljárás
- Feladatok gráfokkal: legrövidebb út probléma, körút meghatározása, kritikus úthossz és tartalék idők.
- Fa szerkezet, hálózatok optimalizálása, minimális költségű fa meghatározása.
Számfogalom kiterjesztése, a komplex számok
- A valós számok halmazának szűkössége, a komplex számsík bevezetése, a képzetes rész definíciója.
- A komplex számok algebrai alakja. Összeadás, kivonás, szorzás, osztás és hatványozás algebrai alakkal, a binomiális tétel.
- A komplex számok trigonometrikus alakja, átszámolás az algebrai és a trigonometrikus alak között. A trigonometrikus alakkal való szorzás, osztás, hatványozás és gyökvonás.
- Függvények használata komplex számokkal
Függvényanalízis
- A sorozatok tulajdonságainak vizsgálata nélkül értelmetlen ennek a résznek nekiállni!
- A valós számok folytonossága, függvények folytonossága, korlátossága, szakadása (helyettesíthető, ugrás és másodfajú szakadás).
- Függvények végtelenben és végesben vett határértéke, nevezetes függvény határértékek
- Függvények differencia és differenciál hányadosa függvény deriváltja, annak tulajdonságai. Deriválási szabályok és alapvető deriváltak, függvények deriválása, második és n-edik derivált, függvények közelítő (Tailor) sora.
- Függvények vizsgálata az analízis elemeivel.
- Függvények integrálása. Alapintegrálok és integrálási szabályok. Parciális törtekre bontás és parciális integrálás.
- A határozott integrál fogalma és használata. Newton-Liebniz formula, forgástestek felszíne és térfogata.
Minden kérdésre szívesen válaszolok a 20/249-7326-os számon! |
Oszd meg azzal az ismerősöddel, akinek ez megoldást jelenthet!