A matematika oktatás témakörei

Matematikai alapok (ált. isk., 9. évfolyam)

Szerintem ezzel kell kezdeni minden középiskolai oktatást, mert ez olyan mértékben szétesik a diákok fejében, hogy a dolgozatok hibáinak 20-25 százaléka ennek köszönhető.

  1. Minden tudás megszerzése az alapoknál kezdődik. Aki kihagyja a lépéseket, az magára vessen!
    Minden tudás megszerzése az alapoknál kezdődik. Aki kihagyja a lépéseket, az magára vessen!

    Számok összeadása, kivonása, szorzása. A fejszámolás alapjai (egyszerű összeadás és kivonás, szorzótábla), zárójelek használata.

  2. Számok osztása, törtek használata. Oszthatósági szabályok, a legkisebb közös osztó és a legkisebb közös többszörös használata.
  3. Műveletek törtekkel: Törtek összeadása, kivonása, bővítés és egyszerűsítés. Törtek szorzása és osztása számmal. Törtek szorzása és osztása törttel. Az emeletes tört átalakítása, egyszerűbb alakja.
  4. Számok hatványai, a hatványozás azonosságai. Számok normál alakja, a fizikai mennyiségek előtagjai (prefixumok), mértékegységek átváltása.
  5. Az algebrai kifejezések bevezetése. Egynemű kifejezések kiválasztása, algebrai kifejezések összevonása, szorzása.
  6. A matematikai egyenlet: mérlegelv, egy oldalra rendezés, az egyenlet osztása számmal. Az egyenlet eredményének ellenőrzése (visszahelyettesítés).

Halmazok és matematikai logika (9. és 10. évfolyam)

  1. A Venn-diagram a halmazos feladatok megoldásának egyik legfőbb eszköze.
    A Venn-diagram a halmazos feladatok megoldásának egyik legfőbb eszköze. A kép forrása: Wikipédia

    Halmazok megadása, jelölése, számossága, kiegészítő (komplementer) halmaz, egy halmaz részhalmazainak száma.

  2. Műveletek halmazokkal: metszet, unió, különbség, szimmetrikus különbség, két halmaz Descartes-féle direkt szorzata.
  3. Számhalmazok bevezetésük, tulajdonságaik, kapcsolatunk.
  4. Logikai ítéletek formalizálása. Boole algebrai azonosságok és bizonyításuk. A halmazok és a matematikai logika kapcsolata. A döntési fák használata.

Algebrai azonosságok és használatuk (9. évfolyam)

  1. Aki nem a tartalmat mondja magában, az nem fogja tudni az azonosságot használni.
    Aki nem a tartalmat mondja magában, az nem fogja tudni az azonosságot használni.

    Algebrai kifejezések szorzása, zárójeles kifejezések felbontása, többszörös zárójelek használata. Összetett algebrai kifejezéseket tartalmazó zárójelek felbontása. Algebrai kifejezések hatványozása (szorzat és hatvány hatványozása).

  2. Algebrai azonosságok (összegek és különbségek négyzete, köbe, két szám összegének és különbségének szorzata).
  3. Szorzattá alakítás kiemeléssel és csoportosítással. Szorzattá alakítás azonosság felhasználásával. Szorzattá alakítás több lépésben. Teljes négyzetté alakítás.
  4. Algebrai törtek értelmezési tartománya. Algebrai törtek egyszerűsítése szorzattá alakítással. Algebrai törtek összeadása, kivonása zárójelek használatával. Algebrai törtek szorzása és osztása. /Emeletes algebrai törtek./

Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek és egyenletrendszerek (9. évfolyam)

  1. Az egyenletek megoldása a matematikai feladok megoldásának alfája és ómegája.
    Az egyenletek megoldása a matematikai feladok megoldásának alfája és ómegája.

    Elsőfokú egyenletek, törtes egyenletek, a nevezőben algebrai kifejezést tartalmazó egyenletek.

  2. Egyenlőtlenségek. Egyenlőtlenség szorzása és osztása negatív számmal. Törtes egyenlőtlenségek.
  3. Abszolút érték bevezetése, az abszolút értéket tartalmazó egyenletek megoldása. Abszolútértéket tartalmazó egyenlőtlenségek.
  4. Két ismeretlenes egyenlet-rendszerek megoldása kifejezéssel és behelyettesítéssel. Az egyenlő együtthatók módszere.
  5. Több ismeretlenes egyenletek és egyenletrendszerek megoldása: Gauss módszer, a determinánsok módszere és egyszerű lineáris programozási feladatok

Elsőfokú egyenletekre vezető szöveges feladatok (9. évfolyam)

Gyakran a szövegértés alapjainak elsajátítás is szükséges ezen anyagrészhez!!!

  1. Egy ismeretlenes egyenletre visszavezethető feladatok. A százalékszámítás rendszerezése.
  2. Együttes munkára, keverési feladatokra és mozgásra vonatkozó feladatok.
  3. Számelméleti feladatok. Számelméleti jelölések, számrendszerek és átszámítások.
  4. Több ismeretlenes egyenlet-rendszerre vezető feladatok.
  5. Diofantoszi problémák

5. Egyszerű matematikai függvények (9. évfolyam)

  1. A függvények megtanulásának van egy gyakorlatias módszere. S nem értéktáblázatnak hívják.
    A függvények ábrázolására van egy gyakorlatias módszere, amit nem értéktáblázatnak hívnak.

    A függvények jellemzésének elemei

  2. A konstans függvény és a lineáris (elsőfokú) függvény ábrázolása és jellemzése.
  3. Az abszolút érték függvény ábrázolása, transzformációja és jellemzése.
  4. Az reciprok függvény ábrázolása, transzformációja és jellemzése.
  5. A másodfokú függvény ábrázolása, transzformációja és jellemzése.
  6. Négyzetgyök függvény ábrázolása, transzformációja és jellemzése.
  7. Az egészrész, a törtrész és az előjel függvény tulajdonságai

A síkgeometria alapjai (ált. isk., 9-10 évfolyam)

  1. A geometriai feladatok egy jó ábra nélkül semmit sem érnek.
    A geometriai feladatok egy jó ábra nélkül semmit sem érnek.

    A síkgeometria alapfogalmai: egyenes, félegyenes, szakasz, szög és szögtartomány

  2. Két egyenes helyzete a síkban: két egyenes metszéspontja, párhuzamossága, egyenlősége
  3. Egyenesek és a sík kölcsönhatása, egyállású, fordított állású és csúcsszögek. szögek, kiegészítő szögek
  4. Egybevágósági transzformációk és tulajdonságaik (tengelyes és középpontos tükrözés, pont körüli forgatás, eltolás).
  5. Középpontos hasonlóság és tulajdonságai. A hasonlósággal bizonyítható tételek (párhuzamos szellők és szellő szakaszok tétele). Merőleges, kúpos és hengeres vetítés (a térképek használatának alapjai).
  6. Háromszögek tulajdonságai, típusai (tompaszögű, derékszögű és hegyes szögű háromszögek).
  7. Háromszögek nevezetes vonalai, és a rá vonatkozó tételek (szögfelezők, szakaszfelezők, magasságvonalak, súlyvonalak). A nevezetes háromszögekben a nevezetes pontok elhelyezkedése. A háromszögek egybevágóságának és hasonlóságának alapesetei.
  8. Derékszögű háromszögekre vonatkozó tételek (Pitagorasz-tétel, Tálesz-tétel, magasság tétel, befogó tétel, Euler és Feuerbach tétel).
  9. Négyszögek rendszerezése, a különböző négyszögek rész-egész viszonyai (=a négyszögek halmazai: deltoid, trapéz, paralelogramma, rombusz, téglalap és négyzet). A négyszögek szimmetriája, kerülete, területe.
  10. A kőr részei és azok tulajdonságai, a körre vonatkozó tételek (kerületi és középponti szögek tétele, érintő szakaszok tétele). A látószög körív és a két független körívhez húzott külső és belső érintő megszerkesztése.
  11. A vektor fogalma, vektorok összege és különbsége, paralelogramma módszer használata két vektor esetén.
  12. Egyéb nevezetes görbék (szabályos sokszögek, parabola, hiperbola, ellipszis és kosárgörbe) definíciója és tulajdonságai

A négyzetgyök, a másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek (10. évfolyam)

  1. A másodfokú megoldóképlet a matematika legismertebb képlete. Akinek érettségije van, az ha másra nem is, erre emlékszik.
    A másodfokú megoldóképlet a matematika legismertebb képlete. Akinek érettségije van, az ha másra nem is, erre emlékszik.

    Négyzetgyök fogalma, értelmezési tartománya (, a négyzetgyök függvény).

  2. A négyzetszámok, a négyzetszámok gyöke, számok szorzatának gyöke, algebrai kifejezések gyöke. Gyökjel alá bevitel és gyökjel alóli kiemelés.
  3. Négyzetgyökkel való szorzás, osztás, feladatok algebrai azonosságokkal, törtek nevezőjének gyöktelenítése.
  4. Másodfokú kifejezésre vezető egyenletek, a hiányos másodfokú egyenlet megoldása. Másodfokú egyenlet megoldása kiemeléssel, szorzattá alakítással, teljes négyzetté alakítással.
  5. A másodfokú megoldó képlet, egyenletek megoldása másodfokú megoldó képlettel.
  6. Négyzetgyököt tartalmazó egyenletek megoldása, a hamis gyök fogalma.
  7. A két ismeretlenes másodfokú egyenletrendszerek megoldásának speciális esetei.
  8. Másodfokú egyenletre vezető szöveges példák.

Trigonometria 1. (10. évfolyam)

  1. Egy jól megírt feladatnak több köze van a valósághoz, mint az iskolai számonkérés sablonosságához.
    Egy jól megírt feladatnak több köze van a valósághoz, mint az iskolai számonkérés sablonosságához.

    A trigonometrikus függvények a derékszögű háromszögekben. A nevezetes szögek szögfüggvényei.

  2. A háromszög különböző részeinek kiszámolása A trigonometrikus függvények használata a geometriai (szöveges) feladatokban.
  3. A trigonometrikus függvények kiterjesztése, a forgásszögek szögfüggvényei. A trigonometrikus függvények ábrázolása, transzformációja, és tulajdonságaik.
  4. A trigonometria alapvető összefüggései s egyenletekben való alkalmazásuk.

Matematikai statisztika (10. évfolyam)

  1. Egy jó hisztogram többet mond el az adatok tulajdonságairól, mint bármilyen mutatószám.
    Egy jó hisztogram többet mond el az adatok tulajdonságairól, mint bármilyen mutatószám.

    Adatok egyszerű jellemzése (elemszám, minimum és maximum érték, terjedelem, középső elem (medián), leggyakoribb elem (módusz)

  2. Adatok tulajdonságait jellemző számok (átlag, szórás, kvartilis, decilis).
  3. Adatok ábrázolása és értelmezése (oszlop és kőrdiagram)

Az n-edik gyök és törtkitevőjű hatványok (10-11. évfolyam)

  1. N-edik gyök fogalma, számok n-edik gyöke
  2. Gyök alá bevitel és gyökjel alóli kiemelés
  3. Többszörös gyökjel egyszerűsítése
  4. Negatív és törtkitevőjű hatvány értelmezése
  5. Törtkitevőjű hatványok szorzása és osztása

Exponenciális és logaritmusos kifejezések (11. évfolyam)

  1. Az exponenciális függvény sokféle növekedés elméleti görbéjét adja meg.
    Az exponenciális függvény sokféle növekedés elméleti görbéjét adja meg.

    Exponenciális és logaritmusos függvény ábrázolása, transzformációja, jellemzése. Az exponenciális egyenletek megoldása (4 különböző típus).

  2. Logaritmusos kifejezések átalakításai (kitevő előre hozatala, azonos alapú logaritmusok összege és különbsége, új alapra áttérés).
  3. Logaritmusos egyenletek megoldása (3 különböző típus).
  4. Exponenciális és logaritmusos jelenségekhez kapcsolódó szöveges feladatok.
  5. Exponenciális és logaritmusos egyenletrendszerek.

Trigonometria 2 (11. évfolyam)

  1. Szinusz és koszinusz tétel általános háromszögekre, ehhez kapcsolódó számítási feladatok.
  2. Két szög összegének és különbségének szögfüggvénye, kétszeres szögek szögfüggvénye (addíciós tételek)
  3. Feles szögek szögfüggvénye

Vektorok a koordináta rendszerben (11. évfolyam)

  1. Vektorok skalár szorzata Vektor hosszának, illetve két vektor hajlásszögének meghatározása.
  2. Egy szakasz felező-, harmadoló- és adott arányú osztópontja.
  3. Vektorok merőleges forgatása, számmal való szorzása, osztása

Koordinátageometria (11. évfolyam)

  1. A koordinátageometria pont az a része a mateknak, aminek haszna semennyire sem látszik.
    A koordinátageometria pont az a része a mateknak, aminek haszna semennyire sem látszik.

    Ezen fejezet elsajátításához a 3., 6. és 7. témakőr átismétlése erősen ajánlott.

  2. Az egyenes egyenletei (irányvektorral, normálvektorral felírt formája, iránytangenssel és kép pont segítségével megadott egyenes egyenlet), és a hozzá kapcsolódó feladatok.
  3. A kőr egyenlete és a hozzá kapcsolódó feladatok.
  4. A parabola egyenlete és a hozzá kapcsolódó feladatok.
  5. Az ellipszis egyenlete és a hozzá kapcsolódó feladatok.
  6. Görbék metszéspontjának meghatározása, adott tulajdonságú görbe egyenletének felírása.

Sorozatok (12. évfolyam)

  1. A sorozatok használata pár alapképlet ismeretét is megkívánja
    A sorozatok használata pár alapképlet ismeretét is megkívánja

    Sorozatok definíciója, tulajdonságai, fajtái, nevezetes sorozatok.

  2. Számtani sorozat definíciója, általános tagjának és első n tagjának összegét magadó képlet, ezek felhasználását igénylő feladatok.
  3. Mértani sorozat definíciója, általános tagjának és első n tagjának összegét magadó képlet, ezek felhasználását igénylő feladatok.
  4. Mértani és számtani sorozatot is tartalmazó feladatok.
  5. Sorozatok vizsgálata:
    1. Sorozatok konvergenciája, korlátossága, határértéke, s ezek meghatározása. Az e szám bevezetése.
    2. Néhány speciális sorozat első n tagjának összegére vonatkozó rekurzív (teljes indukcióval történő) bizonyítása.
    3. A rendőrelv használata sorozatok konvergenciájának meghatározásához.
    4. Matematikai sorok definíciója, korlátossága, határértéke.

Térgeometria (12. évfolyam)

  1. A legegyszerűbb szabályos test, a szabályos háromszögekkel határolt tetraéder.
    A legegyszerűbb szabályos test, a szabályos háromszögekkel határolt tetraéder.

    Fontosabb térbeli alakzatok definíciója, felszíne és térfogata (kocka, téglalap, gömb, gúla, kúp).

  2. Térbeli alakzatok ismeretlen szakaszainak kiszámolása, a csonka kúp és a csonka gúlához kapcsolódó feladat.
  3. A mindennapokban előforduló egyéb térbeli formák (parabolid felület, elipiszoid, paralelepipedon)
  4. A szabályos testek definíciói. Az oktaéder és a hexaéder kapcsolata

Kombinatorika és valószínűség számítás (12. évfolyam)

  1. Permutáció, variáció és kombináció fogalma és a hozzájuk kapcsolódó feladatok.
  2. Egyedi esemény valószínűségének meghatározása.
  3. Diszkrét eloszlástípusok (Binomiális, hipergeometrikus és exponenciális eloszlás)

Gráfok

  1. Alapfogalmak: gráf, él, csúcs. hurok, út, körüljárás
  2. Feladatok gráfokkal: legrövidebb út probléma, körút meghatározása, kritikus úthossz és tartalék idők.
  3. Fa szerkezet, hálózatok optimalizálása, minimális költségű fa meghatározása.

Számfogalom kiterjesztése, a komplex számok

  1. A valós számok halmazának szűkössége, a komplex számsík bevezetése, a képzetes rész definíciója.
  2. A komplex számok algebrai alakja. Összeadás, kivonás, szorzás, osztás és hatványozás algebrai alakkal, a binomiális tétel.
  3. A komplex számok trigonometrikus alakja, átszámolás az algebrai és a trigonometrikus alak között. A trigonometrikus alakkal való szorzás, osztás, hatványozás és gyökvonás.
  4. Függvények használata komplex számokkal

Függvényanalízis

  1. A határérték nem csak a sorozatok kapcsán fordul elő a matematikában.
    A határérték nem csak a sorozatok kapcsán fordul elő a matematikában.

    A sorozatok tulajdonságainak vizsgálata nélkül értelmetlen ennek a résznek nekiállni!

  2. A valós számok folytonossága, függvények folytonossága, korlátossága, szakadása (helyettesíthető, ugrás és másodfajú szakadás).
  3. Függvények végtelenben és végesben vett határértéke, nevezetes függvény határértékek
  4. Függvények differencia és differenciál hányadosa függvény deriváltja, annak tulajdonságai. Deriválási szabályok és alapvető deriváltak, függvények deriválása, második és n-edik derivált, függvények közelítő (Tailor) sora.
  5. Függvények vizsgálata az analízis elemeivel.
  6. Függvények integrálása. Alapintegrálok és integrálási szabályok. Parciális törtekre bontás és parciális integrálás.
  7. A határozott integrál fogalma és használata. Newton-Liebniz formula, forgástestek felszíne és térfogata.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.